Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor son todos los puntos del intervalo unidad que admiten una expresión en base 3 que no utilice el dígito 1.
Explicación
Los puntos finales se dan en base 3.
03 0,013 0,023 0,13 0,23 0,213 0,223 13 Paso 0 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5
Puntos finales
Los puntos finales nunca son eliminados. Puesto que cada paso elimina un número finito de intervalos y el número de pasos es numerable, el conjunto de estos puntos es infinito numerable.
Intervalos
En el paso 1 quitar los números entre 0,13 y 0,23. Porque 0,13 es la misma que 0,0222…3 realmente estamos quitando todos esos decimales ternarios con un 1 en el primer lugar decimal.
En el paso 2 quitar los números entre 0,013 y 0,023 y los números entre 0,213 y 0,223. Porque 0,013 es lo mismo que 0,00222…3 y 0,213 es lo mismo que 0.20222...3 realmente estamos quitando todos esos decimales ternarios con un 1 en el segundo lugar decimal.
En el paso 3 quitar los números con un 1 en el tercer lugar decimal y así sucesivamente.
Los números que quedan son aquellos cuya representación decimal ternario consisten enteramente de 0's y de 2's.
Cardinalidad
Si sustituimos los dos por uno en los números restantes, obtenemos exactamente todos los números de la representación decimal binario. El conjunto de estos números es infinito no numerable.
Así, el conjunto de Cantor tiene la misma cardinalidad como el intervalo [0,1] y así como el conjunto de los números reales.
Conclusión
Después de eliminar todos los intervalos, el número de puntos restantes es nada menos que el número comenzamos con. Es bastante asombroso.